28ª Competencia de MateClubes 2025
Primera Ronda - Nivel 5

• La prueba dura 2 horas.
• En todos los problemas, justificar la respuesta dada y explicar los pasos de la resolución.
• Se puede usar calculadora. No se pueden consultar libros ni apuntes ni archivos de la computadora.
• No puede usarse ningún programa de la computadora para resolver los problemas.
• Los problemas deben ser resueltos por los alumnos participantes de cada club. No pueden consultar con otros clubes ni recibir ayuda de profesores o miembros adherentes (excepto en cuestiones informáticas relacionadas con la recepción y el envío de las pruebas).
• Las soluciones que nosotros recibamos deben haber sido escritas por los alumnos de cada club. Los profesores, bajo ninguna circunstancia, pueden escribir, tipear o transcribir las soluciones de los alumnos.

1

Rafa quiere completar la figura con los dígitos de 1 a 9, usando una vez cada uno.

Llamamos A, B y C a los números de 3 dígitos que se forman en las filas marcadas. Además, llamamos D al número de 3 dígitos que se forma en la columna marcada.

Rafa quiere que se cumpla B = 5D y que C - A (la resta C menos A) sea lo más grande posible.

¿Cómo puede completar la figura?

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2

Un sapito salta sobre los puntos de un círculo numerados del 1 al 99, en la figura se ven los primeros y los últimos números.

Inicialmente, todos los números están pintados de color negro.

Empieza en el 1 y avanza saltando alternadamente 3 y 7 posiciones. Por ejemplo, del 1 salta al 4, del 4 al 11 y del 11 al 14.

Cada vez que visita un número, pinta ese número de rojo (si ya estaba rojo, lo deja rojo), y sigue hasta que todos los números están pintados de rojo.

¿Cuál es el último número que pinta de rojo? ¿Cuántos saltos da en total?

Aclaración: al comenzar, pinta el 1 de rojo.

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3

Mario escribe una lista de números consecutivos en orden creciente en el pizarrón, y observa que la cantidad de números que tiene su lista es un número que escribió en el pizarrón.

Betty en otro pizarrón escribe una lista de números en orden creciente (los números pueden no ser consecutivos y puede escribir números repetidos).

En la lista de Betty también se cumple que la cantidad de números que tiene su lista es un número que escribió en su pizarrón.

Por ejemplo, Mario podría escribir 1, 2, 3 y Betty 1, 2, 4, 4, porque Mario tendría 3 números y 3 está en su lista y Betty tendría 4 números y 4 está en su lista.

Mario y Betty le dijeron a Rafa todos los números que estaban escritos en los pizarrones (incluyendo las repeticiones), pero no le dijeron cuales números estaban en la lista de cada uno.

Los números que le contaron a Rafa son 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18.

¿Cuáles son las listas que escribieron Mario y Betty? Dar TODAS las posibilidades.

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Ver soluciones enviadas por tu club hasta el momento.

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